已知椭圆x^2/4+y^2=1的焦点为f1,f2,抛物线y^2=px与椭圆在第一象限内的焦点为q，若角F1QF2=60度

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 23:28:59
求：1.三角形F1QF2的面积
2.此抛物线的方程
要详细过程

a=2,b=1,c=√3,e=√3/2,│F1F2│=2√3,│F1Q│+│F2Q│=2a=4。
在三角形F1QF2中，cos60度=（│F1Q│∧2+│F2Q│∧2—│F1F2│∧2）/(2│F1Q││F2Q│)=[(│F1Q│+│F2Q│)∧2－2│F1Q││F2Q│—│F1F2│∧2]/(2│F1Q││F2Q│)=(16－2│F1Q││F2Q│－12)/(2│F1Q││F2Q│)=1/2,从而│F1Q││F2Q│=4/3。
所以S△F1QF2=1/2│F1Q││F2Q│sin60度=√3/3。
因为│F1Q│+│F2Q│=4，│F1Q││F2Q│=4/3，从而解得│F1Q│=2＋2√6/3，│F2Q│=2—2√6/3。
设Q（x,y),由焦半径公式│F1Q│=a+ex=2+√3/2x,│F2Q│=a－ex=2－√3/2x,从而得到x=4√2/3，y∧2=1－x∧2/4=1/9,不妨取y=1/3,则Q（4√2/3，1/3),因为Q点在抛物线上，所以1/9=p4√2/3,解得p=√2/24。
所以抛物线的方程为：y^2=√2/24x。